Zenone di Elea

Discepolo di Parmenide fu Zenone, anch'egli nato a Elea verso l'inizio del V secolo a.C.

Forse venne ucciso per aver partecipato una congiura contro un tiranno che si era impadronito del governo della sua città.

Diversamente dal maestro, Zenone compose il suo scritto in prosa. Il suo intento era in primo luogo una difesa delle dottrine del maestro dagli attacchi ai quali gli avversari le avevano sottoposte.

Per questo aspetto Aristotele chiamerà Zenone inventore della dialettica, intesa come tecnica di discussione a partire dalle premesse ammesse dall'avversario. Per demolire gli attacchi a Parmenide, Zenone ricorre in primo luogo, sulla scia del maestro, alla tecnica della dimostrazione per assurdo.

Zenone di Elea

Ma a essa gli affianca un altro importante strumento argomentativo: il regresso all'infinito, da lui applicato in relazione alla divisibilità delle grandezze (spazio e tempo). Utilizzando questi due strumenti egli costruisce una serie di argomenti contro la molteplicità e contro il movimento.

Essi saranno poi chiamati paradossi, letteralmente "proposizioni contrarie all'opinione" comune, in quanto conducono a conclusioni che contrastano con quanto si pensa comunemente.

Contro i sostenitori del movimento, Zenone enuncia quattro argomenti, affini tra loro.

Il più celebre è quello detto di Achille e della tartaruga.

Zenone ipotizza una situazione nella quale Achille (A) e una tartaruga (T) debbano raggiungere un traguardo (F).

Immaginiamo che Achille dia un vantaggio alla tartaruga, Nel tempo in cui A si muove per raggiungere T, T raggiunge T1; nel tempo in cui A si muove da T per raggiungere T1, la tartaruga si muove da T1 a T2 e cosi via all'infinito.

Il presupposto di questo regresso all'infinito è che la grandezza - in questo caso lo spazio da percorrere - sia divisibile all'infinito. Anche Zenone, come già Parmenide, non parte dalla constatazione empirica che un uomo correndo raggiungerà la tartaruga, ma sottopone ad analisi il concetto di movimento.

Se si ammette che lo spazio sia divisibile all'infinito, Achille correndo non riuscirà a raggiungere la tartaruga in un tempo finito. La conclusione ottenuta mediante questo ragionamento che conduce all'assurdo la nozione di movimento, è che l'essere è immobile, come appunto aveva sostenuto Parmenide.

Contro la nozione di molteplicità, invece, Zenone argomenta mostrando che, se i molti sono, devono essere di numero sia finito (cioè tanti quanti sono), sia infinito (in quanto ciascuno di essi è separato dall'altro mediante qualche cos'altro e così all'infinito). Ma è impossibile che una cosa sia al tempo stesso finita e infinita. Per evitare questa contraddizione occorre negare l'esistenza del molteplice e quindi concludere, come voleva Parmenide, che l'essere è uno.

La cosa interessante è che Zenone con queste sue argomentazioni non utilizzava in prima istanza la disgiunzione "è" e "non é", che invece aveva sorretto le dimostrazioni per assurdo di Parmenide.

Prendeva invece rilievo il regresso all'infinito, fondato sulla nozione di divisibilità delle grandezze, la quale sarebbe rimasta un presupposto centrale per le indagini geometriche dei Greci. Ma ciò che vale per l'ambito delle grandezze geometriche ( per esempio la divisibilità all'infinito di una linea) era esteso da Zenone non solo all'ambito dei numeri, bensì probabilmente anche al dominio della natura.

Il modo comune di rappresentarsi il mondo fisico da parte degli uomini appariva perciò incompatibile, anche nelle argomentazioni di Zenone, con il dominio di ciò che può essere pensato e detto senza contraddizioni.

Il Paradosso di Achille e la tartaruga ha ispirato diversi scrittori.

• Lewis Carroll ha pensato ad un immaginario dialogo tra Achille e la tartaruga, posto alla fine dell'interminabile corsa. I due discutono di geometria, ma la tartaruga rifiuta sempre di arrivare alla conclusione finale di Achille, semplicemente perché rifiuta la logica (in particolare il modus ponens).
• In Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante di Douglas Hofstadter i vari capitoli sono intervallati da dialoghi tra Achille e la tartaruga, ispirati all’opera di Carroll.
• Lo scrittore argentino Borges ha ripreso più volte i paradossi di Zenone, discutendo del loro rapporto con l'infinito. Borges li ha anche utilizzati come metafora per alcune situazioni descritte da Kafka.
• Il poeta francese Paul Valéry cita Zenone d'Elea e fa riferimento ai paradossi di Achille e della freccia nel suo poema Le Cimetière Marin.

I paradossi di Zenone ( Achille e la tartaruga, lo stadio, la freccia) non sono affatto banali: malgrado il tentativo di confutazione da parte di Aristotele (nel libro VI della Fisica), una loro soluzione, sia pure non definitiva, dovrà attendere più di duemila anni,  fino alla teoria dei limiti sviluppata dai matematici dell'Ottocento.